Point Group D20d



D20d E 2S40 2C20 2(S40)3 2C10 2S8 2(C20)3 2(S40)7 2C5 2(S40)9 2C4 2(S40)11 2(C10)3 2(S40)13 2(C20)7 2(S8)3 2(C5)2 2(S40)17 2(C20)9 2(S40)19 C2 20C'2 20σd
A1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1
B1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1
B2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
E1 2 2cos(π/20) 2cos(π/10) 2cos(3π/20) 2cos(π/5) 2cos(π/4) 2cos(3π/10) 2cos(7π/20) 2cos(2π/5) 2cos(9π/20) 0 -2cos(9π/20) -2cos(2π/5) -2cos(7π/20) -2cos(3π/10) -2cos(π/4) -2cos(π/5) -2cos(3π/20) -2cos(π/10) -2cos(π/20) -2 0 0
E2 2 2cos(π/10) 2cos(π/5) 2cos(3π/10) 2cos(2π/5) 0 -2cos(2π/5) -2cos(3π/10) -2cos(π/5) -2cos(π/10) -2 -2cos(π/10) -2cos(π/5) -2cos(3π/10) -2cos(2π/5) 0 2cos(2π/5) 2cos(3π/10) 2cos(π/5) 2cos(π/10) 2 0 0
E3 2 2cos(3π/20) 2cos(3π/10) 2cos(9π/20) -2cos(2π/5) -2cos(π/4) -2cos(π/10) -2cos(π/20) -2cos(π/5) -2cos(7π/20) 0 2cos(7π/20) 2cos(π/5) 2cos(π/20) 2cos(π/10) 2cos(π/4) 2cos(2π/5) -2cos(9π/20) -2cos(3π/10) -2cos(3π/20) -2 0 0
E4 2 2cos(π/5) 2cos(2π/5) -2cos(2π/5) -2cos(π/5) -2 -2cos(π/5) -2cos(2π/5) 2cos(2π/5) 2cos(π/5) 2 2cos(π/5) 2cos(2π/5) -2cos(2π/5) -2cos(π/5) -2 -2cos(π/5) -2cos(2π/5) 2cos(2π/5) 2cos(π/5) 2 0 0
E5 2 2cos(π/4) 0 -2cos(π/4) -2 -2cos(π/4) 0 2cos(π/4) 2 2cos(π/4) 0 -2cos(π/4) -2 -2cos(π/4) 0 2cos(π/4) 2 2cos(π/4) 0 -2cos(π/4) -2 0 0
E6 2 2cos(3π/10) -2cos(2π/5) -2cos(π/10) -2cos(π/5) 0 2cos(π/5) 2cos(π/10) 2cos(2π/5) -2cos(3π/10) -2 -2cos(3π/10) 2cos(2π/5) 2cos(π/10) 2cos(π/5) 0 -2cos(π/5) -2cos(π/10) -2cos(2π/5) 2cos(3π/10) 2 0 0
E7 2 2cos(7π/20) -2cos(3π/10) -2cos(π/20) -2cos(2π/5) 2cos(π/4) 2cos(π/10) 2cos(9π/20) -2cos(π/5) -2cos(3π/20) 0 2cos(3π/20) 2cos(π/5) -2cos(9π/20) -2cos(π/10) -2cos(π/4) 2cos(2π/5) 2cos(π/20) 2cos(3π/10) -2cos(7π/20) -2 0 0
E8 2 2cos(2π/5) -2cos(π/5) -2cos(π/5) 2cos(2π/5) 2 2cos(2π/5) -2cos(π/5) -2cos(π/5) 2cos(2π/5) 2 2cos(2π/5) -2cos(π/5) -2cos(π/5) 2cos(2π/5) 2 2cos(2π/5) -2cos(π/5) -2cos(π/5) 2cos(2π/5) 2 0 0
E9 2 2cos(9π/20) -2cos(π/10) -2cos(7π/20) 2cos(π/5) 2cos(π/4) -2cos(3π/10) -2cos(3π/20) 2cos(2π/5) 2cos(π/20) 0 -2cos(π/20) -2cos(2π/5) 2cos(3π/20) 2cos(3π/10) -2cos(π/4) -2cos(π/5) 2cos(7π/20) 2cos(π/10) -2cos(9π/20) -2 0 0
E10 2 0 -2 0 2 0 -2 0 2 0 -2 0 2 0 -2 0 2 0 -2 0 2 0 0
E11 2 -2cos(9π/20) -2cos(π/10) 2cos(7π/20) 2cos(π/5) -2cos(π/4) -2cos(3π/10) 2cos(3π/20) 2cos(2π/5) -2cos(π/20) 0 2cos(π/20) -2cos(2π/5) -2cos(3π/20) 2cos(3π/10) 2cos(π/4) -2cos(π/5) -2cos(7π/20) 2cos(π/10) 2cos(9π/20) -2 0 0
E12 2 -2cos(2π/5) -2cos(π/5) 2cos(π/5) 2cos(2π/5) -2 2cos(2π/5) 2cos(π/5) -2cos(π/5) -2cos(2π/5) 2 -2cos(2π/5) -2cos(π/5) 2cos(π/5) 2cos(2π/5) -2 2cos(2π/5) 2cos(π/5) -2cos(π/5) -2cos(2π/5) 2 0 0
E13 2 -2cos(7π/20) -2cos(3π/10) 2cos(π/20) -2cos(2π/5) -2cos(π/4) 2cos(π/10) -2cos(9π/20) -2cos(π/5) 2cos(3π/20) 0 -2cos(3π/20) 2cos(π/5) 2cos(9π/20) -2cos(π/10) 2cos(π/4) 2cos(2π/5) -2cos(π/20) 2cos(3π/10) 2cos(7π/20) -2 0 0
E14 2 -2cos(3π/10) -2cos(2π/5) 2cos(π/10) -2cos(π/5) 0 2cos(π/5) -2cos(π/10) 2cos(2π/5) 2cos(3π/10) -2 2cos(3π/10) 2cos(2π/5) -2cos(π/10) 2cos(π/5) 0 -2cos(π/5) 2cos(π/10) -2cos(2π/5) -2cos(3π/10) 2 0 0
E15 2 -2cos(π/4) 0 2cos(π/4) -2 2cos(π/4) 0 -2cos(π/4) 2 -2cos(π/4) 0 2cos(π/4) -2 2cos(π/4) 0 -2cos(π/4) 2 -2cos(π/4) 0 2cos(π/4) -2 0 0
E16 2 -2cos(π/5) 2cos(2π/5) 2cos(2π/5) -2cos(π/5) 2 -2cos(π/5) 2cos(2π/5) 2cos(2π/5) -2cos(π/5) 2 -2cos(π/5) 2cos(2π/5) 2cos(2π/5) -2cos(π/5) 2 -2cos(π/5) 2cos(2π/5) 2cos(2π/5) -2cos(π/5) 2 0 0
E17 2 -2cos(3π/20) 2cos(3π/10) -2cos(9π/20) -2cos(2π/5) 2cos(π/4) -2cos(π/10) 2cos(π/20) -2cos(π/5) 2cos(7π/20) 0 -2cos(7π/20) 2cos(π/5) -2cos(π/20) 2cos(π/10) -2cos(π/4) 2cos(2π/5) 2cos(9π/20) -2cos(3π/10) 2cos(3π/20) -2 0 0
E18 2 -2cos(π/10) 2cos(π/5) -2cos(3π/10) 2cos(2π/5) 0 -2cos(2π/5) 2cos(3π/10) -2cos(π/5) 2cos(π/10) -2 2cos(π/10) -2cos(π/5) 2cos(3π/10) -2cos(2π/5) 0 2cos(2π/5) -2cos(3π/10) 2cos(π/5) -2cos(π/10) 2 0 0
E19 2 -2cos(π/20) 2cos(π/10) -2cos(3π/20) 2cos(π/5) -2cos(π/4) 2cos(3π/10) -2cos(7π/20) 2cos(2π/5) -2cos(9π/20) 0 2cos(9π/20) -2cos(2π/5) 2cos(7π/20) -2cos(3π/10) 2cos(π/4) -2cos(π/5) 2cos(3π/20) -2cos(π/10) 2cos(π/20) -2 0 0


Additional information

Number of symmetry elements h = 80
Number of classes, irreps n = 23
Abelian group no
Optical Isomerism (Chirality) no
Polar no
Parity no


Reduce representation to irreducible representations


E 2S40 2C20 2(S40)3 2C10 2S8 2(C20)3 2(S40)7 2C5 2(S40)9 2C4 2(S40)11 2(C10)3 2(S40)13 2(C20)7 2(S8)3 2(C5)2 2(S40)17 2(C20)9 2(S40)19 C2 20C'2 20σd



Genrate representation from irreducible representations


A1 A2 B1 B2 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19




Direct products of irreducible representations


Binary products
A1 A2 B1 B2 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19
A1 A1
A2 A2A1
B1 B1B2A1
B2 B2B1A2A1
E1 E1E1E19E19A1⊕A2⊕E2
E2 E2E2E18E18E1⊕E3A1⊕A2⊕E4
E3 E3E3E17E17E2⊕E4E1⊕E5A1⊕A2⊕E6
E4 E4E4E16E16E3⊕E5E2⊕E6E1⊕E7A1⊕A2⊕E8
E5 E5E5E15E15E4⊕E6E3⊕E7E2⊕E8E1⊕E9A1⊕A2⊕E10
E6 E6E6E14E14E5⊕E7E4⊕E8E3⊕E9E2⊕E10E1⊕E11A1⊕A2⊕E12
E7 E7E7E13E13E6⊕E8E5⊕E9E4⊕E10E3⊕E11E2⊕E12E1⊕E13A1⊕A2⊕E14
E8 E8E8E12E12E7⊕E9E6⊕E10E5⊕E11E4⊕E12E3⊕E13E2⊕E14E1⊕E15A1⊕A2⊕E16
E9 E9E9E11E11E8⊕E10E7⊕E11E6⊕E12E5⊕E13E4⊕E14E3⊕E15E2⊕E16E1⊕E17A1⊕A2⊕E18
E10 E10E10E10E10E9⊕E11E8⊕E12E7⊕E13E6⊕E14E5⊕E15E4⊕E16E3⊕E17E2⊕E18E1⊕E19A1⊕A2⊕B1⊕B2
E11 E11E11E9E9E10⊕E12E9⊕E13E8⊕E14E7⊕E15E6⊕E16E5⊕E17E4⊕E18E3⊕E19B1⊕B2⊕E2E1⊕E19A1⊕A2⊕E18
E12 E12E12E8E8E11⊕E13E10⊕E14E9⊕E15E8⊕E16E7⊕E17E6⊕E18E5⊕E19B1⊕B2⊕E4E3⊕E19E2⊕E18E1⊕E17A1⊕A2⊕E16
E13 E13E13E7E7E12⊕E14E11⊕E15E10⊕E16E9⊕E17E8⊕E18E7⊕E19B1⊕B2⊕E6E5⊕E19E4⊕E18E3⊕E17E2⊕E16E1⊕E15A1⊕A2⊕E14
E14 E14E14E6E6E13⊕E15E12⊕E16E11⊕E17E10⊕E18E9⊕E19B1⊕B2⊕E8E7⊕E19E6⊕E18E5⊕E17E4⊕E16E3⊕E15E2⊕E14E1⊕E13A1⊕A2⊕E12
E15 E15E15E5E5E14⊕E16E13⊕E17E12⊕E18E11⊕E19B1⊕B2⊕E10E9⊕E19E8⊕E18E7⊕E17E6⊕E16E5⊕E15E4⊕E14E3⊕E13E2⊕E12E1⊕E11A1⊕A2⊕E10
E16 E16E16E4E4E15⊕E17E14⊕E18E13⊕E19B1⊕B2⊕E12E11⊕E19E10⊕E18E9⊕E17E8⊕E16E7⊕E15E6⊕E14E5⊕E13E4⊕E12E3⊕E11E2⊕E10E1⊕E9A1⊕A2⊕E8
E17 E17E17E3E3E16⊕E18E15⊕E19B1⊕B2⊕E14E13⊕E19E12⊕E18E11⊕E17E10⊕E16E9⊕E15E8⊕E14E7⊕E13E6⊕E12E5⊕E11E4⊕E10E3⊕E9E2⊕E8E1⊕E7A1⊕A2⊕E6
E18 E18E18E2E2E17⊕E19B1⊕B2⊕E16E15⊕E19E14⊕E18E13⊕E17E12⊕E16E11⊕E15E10⊕E14E9⊕E13E8⊕E12E7⊕E11E6⊕E10E5⊕E9E4⊕E8E3⊕E7E2⊕E6E1⊕E5A1⊕A2⊕E4
E19 E19E19E1E1B1⊕B2⊕E18E17⊕E19E16⊕E18E15⊕E17E14⊕E16E13⊕E15E12⊕E14E11⊕E13E10⊕E12E9⊕E11E8⊕E10E7⊕E9E6⊕E8E5⊕E7E4⊕E6E3⊕E5E2⊕E4E1⊕E3A1⊕A2⊕E2

Ternary Products
Quaternary Products



Symmetric powers [Γn] of degenerate irreducible representations
Vibrational overtones


irrep 2] 3] 4] 5] 6]
E1 A1⊕E2E1⊕E3A1⊕E2⊕E4E1⊕E3⊕E5A1⊕E2⊕E4⊕E6More
E2 A1⊕E4E2⊕E6A1⊕E4⊕E8E2⊕E6⊕E10A1⊕E4⊕E8⊕E12More
E3 A1⊕E6E3⊕E9A1⊕E6⊕E12E3⊕E9⊕E15A1⊕E6⊕E12⊕E18More
E4 A1⊕E8E4⊕E12A1⊕E8⊕E16B1⊕B2⊕E4⊕E12A1⊕E8⊕2E16More
E5 A1⊕E10E5⊕E15A1⊕B1⊕B2⊕E10E5⊕2E15A1⊕B1⊕B2⊕2E10More
E6 A1⊕E12E6⊕E18A1⊕E12⊕E16E6⊕E10⊕E18A1⊕E4⊕E12⊕E16More
E7 A1⊕E14E7⊕E19A1⊕E12⊕E14E5⊕E7⊕E19A1⊕E2⊕E12⊕E14More
E8 A1⊕E16E8⊕E16A1⊕E8⊕E16A1⊕A2⊕E8⊕E16A1⊕2E8⊕E16More
E9 A1⊕E18E9⊕E13A1⊕E4⊕E18E5⊕E9⊕E13A1⊕E4⊕E14⊕E18More
E10 A1⊕B1⊕B22E102A1⊕A2⊕B1⊕B23E102A1⊕A2⊕2B1⊕2B2More
E11 A1⊕E18E7⊕E11A1⊕E4⊕E18E7⊕E11⊕E15A1⊕E4⊕E14⊕E18More
E12 A1⊕E16E4⊕E12A1⊕E8⊕E16B1⊕B2⊕E4⊕E12A1⊕2E8⊕E16More
E13 A1⊕E14E1⊕E13A1⊕E12⊕E14E1⊕E13⊕E15A1⊕E2⊕E12⊕E14More
E14 A1⊕E12E2⊕E14A1⊕E12⊕E16E2⊕E10⊕E14A1⊕E4⊕E12⊕E16More
E15 A1⊕E10E5⊕E15A1⊕B1⊕B2⊕E102E5⊕E15A1⊕B1⊕B2⊕2E10More
E16 A1⊕E8E8⊕E16A1⊕E8⊕E16A1⊕A2⊕E8⊕E16A1⊕E8⊕2E16More
E17 A1⊕E6E11⊕E17A1⊕E6⊕E12E5⊕E11⊕E17A1⊕E6⊕E12⊕E18More
E18 A1⊕E4E14⊕E18A1⊕E4⊕E8E10⊕E14⊕E18A1⊕E4⊕E8⊕E12More
E19 A1⊕E2E17⊕E19A1⊕E2⊕E4E15⊕E17⊕E19A1⊕E2⊕E4⊕E6More



Spherical harmonics and Multipoles
Symmetric Powers of Γxyz


Spherical Harmonics Yl / Multipole Symmetric Power [Γl(xyz)]
l 2l+1 Multipole Symmetry Rank l(xyz)]
s (l=0) 1 Monopole A1 1 A1
p (l=1) 3 Dipole B2⊕E1 3 B2⊕E1
d (l=2) 5 Quadrupole A1⊕E2⊕E19 6 2A1⊕E2⊕E19
f (l=3) 7 Octupole B2⊕E1⊕E3⊕E18 10 2B2⊕2E1⊕E3⊕E18
g (l=4) 9 Hexadecapole A1⊕E2⊕E4⊕E17⊕E19 15 3A1⊕2E2⊕E4⊕E17⊕2E19
h (l=5) 11 Dotricontapole B2⊕E1⊕E3⊕E5⊕E16⊕E18 21 3B2⊕3E1⊕2E3⊕E5⊕E16⊕2E18
i (l=6) 13 Tetrahexacontapole A1⊕E2⊕E4⊕E6⊕E15⊕E17⊕E19 28 4A1⊕3E2⊕2E4⊕E6⊕E15⊕2E17⊕3E19
j (l=7) 15 Octacosahectapole B2⊕E1⊕E3⊕E5⊕E7⊕E14⊕E16⊕E18 36 4B2⊕4E1⊕3E3⊕2E5⊕E7⊕E14⊕2E16⊕3E18
k (l=8) 17 256-pole A1⊕E2⊕E4⊕E6⊕E8⊕E13⊕E15⊕E17⊕E19 45 5A1⊕4E2⊕3E4⊕2E6⊕E8⊕E13⊕2E15⊕3E17⊕4E19
l (l=9) 19 512-pole B2⊕E1⊕E3⊕E5⊕E7⊕E9⊕E12⊕E14⊕E16⊕E18 55 5B2⊕5E1⊕4E3⊕3E5⊕2E7⊕E9⊕E12⊕2E14⊕3E16⊕4E18
m (l=10) 21 1024-pole A1⊕E2⊕E4⊕E6⊕E8⊕E10⊕E11⊕E13⊕E15⊕E17⊕E19 66 6A1⊕5E2⊕4E4⊕3E6⊕2E8⊕E10⊕E11⊕2E13⊕3E15⊕4E17⊕5E19
n (l=11) 23 2048-pole B2⊕E1⊕E3⊕E5⊕E7⊕E9⊕E10⊕E11⊕E12⊕E14⊕E16⊕E18 78 6B2⊕6E1⊕5E3⊕4E5⊕3E7⊕2E9⊕E10⊕E11⊕2E12⊕3E14⊕4E16⊕5E18
o (l=12) 25 4096-pole A1⊕E2⊕E4⊕E6⊕E8⊕E9⊕E10⊕E11⊕E12⊕E13⊕E15⊕E17⊕E19 91 7A1⊕6E2⊕5E4⊕4E6⊕3E8⊕E9⊕2E10⊕2E11⊕E12⊕3E13⊕4E15⊕5E17⊕6E19
More

First nonvanshing multipole: Quadrupole

Further Reading

  • A. Gelessus, W. Thiel, W. Weber. J. Chem. Educ. 72 505 (1995)
    Multipoles and symmetry




Ligand Field, dn term splitting


Term symbols for electronic configurations dn
dn Term Symbols
d1 = d9 2D
d2 = d8 1S, 1D, 1G, 3P, 3F
d3 = d7 2P, 2D (2), 2F, 2G, 2H, 4P, 4F
d4 = d6 1S (2), 1D (2), 1F, 1G (2), 1I, 3P (2), 3D, 3F (2), 3G, 3H, 5D
d5 2S, 2P, 2D (3), 2F (2), 2G (2), 2H, 2I, 4P, 4D, 4F, 4G, 6S


Term splitting in point group D20d
L 2L+1 Term Splitting
S (L=0) 1 A1
P (L=1) 3 A2⊕E19
D (L=2) 5 A1⊕E2⊕E19
F (L=3) 7 A2⊕E2⊕E17⊕E19
G (L=4) 9 A1⊕E2⊕E4⊕E17⊕E19
H (L=5) 11 A2⊕E2⊕E4⊕E15⊕E17⊕E19
I (L=6) 13 A1⊕E2⊕E4⊕E6⊕E15⊕E17⊕E19


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